【人教版】高中数学必修第二册 (A版): 从数轴到复平面：复数的代数定义与几何对映

Представьте, что вы можете двигаться только влево и вправо по тонкой нити — это мир числовой прямой. Если вы хотите прыгнуть вверх, нить не сможет вас удержать. Введениекомплексных чиселпохоже на то, что вы добавляете новое измерение в свой мир. Каждое комплексное число вида $z = a + bi$ больше не является просто точкой на числовой прямой, а представляет собой координату $(a, b)$ на плоскости или вектор, исходящий из начала координат. Это идеальное соответствие между «числом» и «фигурой» является одним из величайших прорывов в истории математики.

Алгебраическое определение комплексных чисел и их геометрическое соответствие

В обязательном учебнике второй части мы изучили систему комплексных чисел. Комплексные числа состоят издействительной частиимнимой частисоставлены, и их стандартная алгебраическая форма: $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).

Чтобы наглядно понять комплексные числа, мы создаликомплексную плоскость:

действительной осисоответствует оси $x$, представляет действительную часть комплексного числа.
мнимой осисоответствует оси $y$, представляет мнимую часть комплексного числа.
точка и комплексное числокомплексное число $z = a + bi$ и точка $Z(a, b)$ образуют взаимно однозначное соответствие.
вектор и комплексное числокомплексное число $z = a + bi$ и плоский вектор $\vec{OZ}$ образуют взаимно однозначное соответствие.

Модуль комплексного числа $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, его геометрический смысл — расстояние точки $Z$ до начала координат на комплексной плоскости. А $|z_1 - z_2|$ — это расстояние между двумя точками.

$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$

ВОПРОС 1

На комплексной плоскости $O$ — начало координат, вектор $\vec{OA}$ соответствует комплексному числу $2+i$. Если точка $A$ симметрична относительно действительной оси точке $B$, найдите комплексное число, соответствующее вектору $\vec{OB}$.

$2-i$

$-2+i$

$-2-i$

$1+2i$

ВОПРОС 2

Продолжая предыдущий вопрос, если точка $B$ симметрична относительно мнимой оси точке $C$, найдите комплексное число, соответствующее точке $C$.

$2+i$

$-2-i$

$-2+i$

$2-i$

ВОПРОС 3

Если действительная часть комплексного числа $z$ положительна, а мнимая часть равна $3$, то на комплексной плоскости точка, соответствующая $z$, находится на какой фигуре?

луч в первой четверти

отрезок на мнимой оси

вся первая четверть

прямая выше действительной оси

ВОПРОС 4

Вычислите результат операции с комплексными числами: $(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$.

$-2+2i$

$-2-8i$

$0$

$-4+2i$

ВОПРОС 5

Известно, что мнимая часть комплексного числа $z$ равна $\sqrt{3}$, а модуль вектора, соответствующего $z$ на комплексной плоскости, равен $2$. Найдите это комплексное число $z$.

$1 + \sqrt{3}i$ или $-1 + \sqrt{3}i$

$1 + \sqrt{3}i$

$\pm 1 - \sqrt{3}i$

$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$

ВОПРОС 6

Необходимое и достаточное условие того, что произведение комплексных чисел $(a+bi)$ и $(c+di)$ является действительным числом:

$ad+bc=0$

$ac+bd=0$

$ac=bd$

$ad=bc$

ВОПРОС 7

Решите уравнение $4x^2+9=0$ в множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$.

$x = \pm \frac{3}{2}i$

$x = \pm \frac{9}{4}i$

$x = \frac{3}{2}i$

Нет решения

ВОПРОС 8

Если модуль комплексного числа $z$ равен $5$, а мнимая часть равна $-4$, то каково само комплексное число $z$?

$3-4i$ или $-3-4i$

$3-4i$

$\pm 3 + 4i$

$\pm 9 - 4i$

ВОПРОС 9

Найдите расстояние между двумя точками на комплексной плоскости, соответствующими комплексным числам $z_1=8+5i$ и $z_2=4+2i$.

$5$

$\sqrt{13}$

$25$

$7$

Вызов: тайна траектории

Комплексное применение геометрического смысла модуля комплексного числа

На комплексной плоскости точка $Z$ соответствует комплексному числу $z$. Известно, что $z$ удовлетворяет следующему условию, проанализируйте её траекторию:

$|z - 1| = |z - i|$

Вопрос 1

С геометрической точки зрения, что представляют $|z - 1|$ и $|z - i|$ соответственно?

Разбор:
Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа:
1. $|z - 1|$ обозначает расстояние от подвижной точки $Z$ до фиксированной точки $A(1, 0)$.
2. $|z - i|$ обозначает расстояние от подвижной точки $Z$ до фиксированной точки $B(0, 1)$.
Уравнение $|z - 1| = |z - i|$ означает, что точка $Z$ находится на одинаковом расстоянии от двух фиксированных точек $A$ и $B$.

Вопрос 2

Согласно геометрическому смыслу вопроса 1, какая фигура является траекторией точки $Z$?

Разбор:
Траектория точек, равноудалённых от двух фиксированных точек, — этосерединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки. На комплексной плоскости серединный перпендикуляр к точкам $A(1, 0)$ и $B(0, 1)$ — это прямая $y = x$.

Вопрос 3

Попробуйте доказать алгебраически: пусть $z = x + yi$, подставьте в исходное уравнение и упростите.

Подробное вывод:
Пусть $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$), тогда:
$| (x-1) + yi | = | x + (y-1)i |$
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$
Возведите обе стороны в квадрат:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
Упростив, получаем: $-2x = -2y \implies y = x$.
Это подтверждает, что траектория — это биссектрисы первой и третьей четвертей.

✨ Ключевые моменты

Мнимая единица $i$, $i^2$ равно $-1$.Действительная часть движется по горизонтали, мнимая частьподнимается вверх.Модуль по теореме Пифагора, расстояние между двумя точкамивычисляется через вычитание.Алгебра и геометрия — одна семья, комплексная плоскостькрасива, как живопись!

💡 Мнимая часть — это не $bi$

Это очень распространённая ошибка. Мнимая часть комплексного числа $a+bi$ — это действительное число $b$, а не $bi$. Например, мнимая часть $3+4i$ — это $4$.

💡 Комплексные числа нельзя сравнивать по величине

Действительные числа можно сравнивать по величине на числовой прямой, но комплексные числа (не являющиеся действительными) нельзя сравнивать по величине. Вы не можете сказать, что $2+i > 1+i$, но их «модули» (расстояния) можно сравнивать по величине.

💡 Определение чисто мнимого числа

Если комплексное число $z=a+bi$ является чисто мнимым, должны выполняться два условия: $a=0$ и $b \neq 0$. Если $b$ тоже равно $0$, то это действительное число $0$.

💡 Геометрическая симметрия сопряжённых комплексных чисел

复数 $z$ 与其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内关于实轴对称；$z$ 与 $-z$ 关于原点对称。

💡 Гибкое применение формулы расстояния

$|z - z_0| = r$ 在复平面内表示以 $z_0$ 为圆心，$r$ 为半径的圆。这是解决复数轨迹问题的核心。